3. Поучительный опыт

Итак, начинаем экспериментировать с новым механизмом, следить за движением маркера и фиксировать результаты наблюдений.

Еще раз повторим, что линия-маркер будет скользить от одного конуса к другому по одной и той же траектории. Неважно, движется она вверх или вниз. Она всегда будет производить одну и ту же эвольвенту.

Запускаем механизм. Вот линия-маркер отделяется от нижнего конуса и начинает движение к верхнему конусу. Расположившись на поверхности нижнего конуса, мы будем наблюдать образование развертывающейся эвольвентной поверхности.

Остановим механизм и заставим его вращаться в обратном направлении. Тогда линия-маркер, двигаясь вспять по той же траектории, будет описывать ту же самую поверхность. Но теперь она будет представляться нам уже не развертывающейся, а свертывающейся поверхностью. Запомним это.

В другом эксперименте линия-маркер начинает движение от верхнего конуса к нижнему. Очевидно, в верхней полусфере мы будем наблюдать то же самое, что и в нижней. Т.е. при движении маркера от верхнего конуса поверхность будет развертывающейся, а при обратном движении – свертывающейся.

А теперь объединим эти два симметричных, фактически одинаковых случая, в каждом из которых мы достаточно ясно представляем себе процесс образования эвольвенты.

Вот линия-маркер, двигаясь снизу вверх, пересекает-таки плоскость экватора. Эвольвентная поверхность продолжает развертываться относительно нижнего конуса. Но относительно верхнего конуса, поскольку движение направлено к нему, эта поверхность, как мы уже знаем, является свертывающейся.

Таким образом, ниже экватора, при движении маркера от нижнего конуса, эвольвента развертывается; выше экватора, продолжая развертываться, свертывается. В этом, собственно, и состоит заявленный геометрический казус.

Отметим еще одно интересное явление. Ниже экватора эвольвентная поверхность относительно нижнего конуса вогнутая. А выше экватора она вогнута относительно верхнего конуса, следовательно, относительно нижнего конуса она выпуклая.
Таким образом, на экваторе знак ее кривизны меняется на противоположный – через нуль, конечно. На экваторе у нее нулевая кривизна! Тянущаяся вдоль этого рубежа полоска эвольвентной поверхности является плоскостью!

Вот к чему в который раз

Приводят выкрутасы нас

Проведем еще один опыт. Пусть линия-маркер, двигаясь от одного конуса к другому и описав полукруг, движется дальше, описывая новый полукруг. Очевидно, начнет развертываться новая эвольвентная поверхность, симметричная предыдущей. Плоскость симметрии проходит по оси конусов и по оси диска.

Эта же плоскость делит наш замечательный диск пополам. Она делит его по диаметру, который мы будем называть главным, чтобы отметить, выделить его из бесчисленного множества других диаметров этого диска. Главный диаметр отличается следующими особенностями:

• Это линия касания диска и конусов.
• Это начальная линия эвольвенты.
• Это конечная линия эвольвенты.
• Это линия возврата эвольвенты.
• Его можно представить как отрезок прямой, составленный из образующих конусов-близнецов.

Мы проследили весь ход развития эвольвенты – от начала развертывания до окончания свертывания. И теперь, обозревая все целиком, отчетливо видим, что это есть не что иное как цикл. Двустадийный цикл развития – развертывание-свертывание. Это еще одна особенность эвольвенты, в дополнение к обширному списку других свойств этой замечательной фигуры. Позволю себе напомнить, что интересный объект – это объект богатый свойствами.

До сих пор мы рассматривали отдельно взятый цикл развития эвольвенты. Но если заставить производящий механизм крутиться непрерывно, то циклы будут следовать один за другим так же непрерывно. Так мы плавно переходим к следующему разделу нашего обозрения.