2. Стремись к совершенству!

В быту мы обычно сматываем нитку с катушки двумя способами:

1. Вращая рукой с зажатой пальцами ниткой вокруг неподвижной катушки.
2. Стягивая нитку с вращающейся катушки прямолинейным движением руки.

Так получилось, что при аналогичном сматывании ленты с конуса изначально был принят первый способ. А если применить второй способ – заставить вращаться конус, а смотанная часть ленты пусть скользит вдоль плоскости, остающейся неподвижной? Посмотрим, что нам даст этот хитроумный ход.

Картина сильно упростится. Сматывается лента или наматывается – этот с трудом представляемый процесс будет отныне сведен к простому расширению или сужению образуемого ею кругового сектора.

Но если вращается один конус, то сросшийся с ним брат-близнец тоже не может не вращаться. Разумеется, они будут вращаться в одном и том же направлении. А смотанная часть ленты, как следует из вышесказанного, в любой момент будет лежать в плоскости, касательной к обоим конусам. Касание осуществляется по прямой линии, состоящей из образующих этих конусов.

Возникает вопрос: «А как же эвольвентная поверхность? Где она?». Ответ прост: зритель, находящийся на поверхности одного из вращающихся конусов и следящий за движением конца ленты, будет по привычке наблюдать образование эвольвентной поверхности. По привычке, потому что для этого зрителя лента сматывается старым способом.

А мы тем временем поспешим воспользоваться открывшимися возможностями, чтобы выявить некоторые тонкие особенности сложного процесса.

Итак, лента сматывается, образуемый ею круговой сектор расширяется. Конец ленты отдаляется от одного конуса и приближается к другому, до соприкосновения с его поверхностью, до совпадения с одной из его образующих. Именно достижение лентой другого конуса и будем пока считать окончанием процесса сматывания.

Поскольку до конца смотанная лента касается обоих конусов по прямой линии, то очевидно, что соответствующий круговой сектор представляет собой полукруг, а линия касания есть диаметр этого полукруга. Таким образом, в ходе сматывания ленты центральный угол ее кругового сектора растет от 0º до 180º.

Это инвариант: какими б ни были конусы – узкими или широкими – до конца смотанная лента будет иметь форму полукруга.

А вот еще один инвариант. Неважно, сматывается лента или наматывается. В обоих случаях конец ленты скользит в плоскости полукруга по одной и той же траектории, описывая одну и ту же эвольвентную поверхность.

Эти особенности стали простыми и очевидными только после того, как мы пустили ленту скользить по неподвижной плоскости.

А этот момент может показаться забавным. Ленту, сматываемую с одного конуса, «готов» наматывать на себя его брат-близнец, при том же направлении вращения.

Как известно, сфера – это тело вращения. Конусы (прямые круговые) – тоже тела вращения. Поэтому мы вправе говорить здесь еще и о параллелях-меридианах. Однако нам достаточно будет использовать только термин «экватор» в дальнейших изысканиях.

Совокупность тел вращения – сферы и конусов – добавляет нашей композиции новый аспект (свойство). Ось конусов – ось вращения и самих конусов и сферы тоже.

Совокупность конусов-близнецов – симметричная фигура. Плоскость симметрии (она же плоскость экватора), проходящая через вершинную точку (центр сферы), попутно делит все наше сферическое пространство на нижнюю и верхнюю полусферы.

Так вот. Мы более или менее ясно представляем себе процесс образования эвольвентной поверхности только в первой его половине – пока конец ленты движется в нижней полусфере. Вот конец ленты отделяется от производящего конуса. Вот начинает развертываться эвольвентная поверхность. Все это привычно и понятно, пока конец ленты движется в пространстве ниже экватора. Но сматываемая лента продолжает удлиняться. Как будет развертываться эвольвента, когда конец ленты пересечет экватор? Мы пока это плохо себе представляем.

Однако мы понимаем, что поскольку конусы симметричны, каждый из них может производить точно такую же эвольвенту, как и его брат-близнец.

Но все же между конусами сохраняется различие: на один конус лента намотана, на другой – нет; различие, которое мешает нам выяснить все до конца.

Чтобы как-то решить эту проблему, заметим, что вообще-то эвольвенту круга описывает не только конец нити, сматываемой с круга. Любая точка нити описывает эту кривую, точнее, свою копию кривой.

Аналогично обстоит дело и с лентой. Любая радиальная линия кругового сектора может производить эвольвентную поверхность.

Пусть теперь лента свободно ходит туда-сюда между двумя конусами. А эвольвенту пусть производит какая-нибудь радиальная линия-маркер на ленте.

Мы можем пойти и дальше. Заметим, что ключевым элементом в  производстве эвольвентной поверхности является именно линия-маркер. Мы можем даже забыть о самой ленте и следить только за движением маркера.

Пойдем еще дальше и упростим систему до предела: заменим мягкую ленту жестким диском. Теперь перед нами только два конуса и диск радиусом, равным длине образующей конуса (см. рисунок ниже). Диск вращается на оси, пересекающей ось конусов в вершинной точке. На него нанесена радиальная линия-маркер (показана на рисунке черным цветом). Диск может вращаться без скольжения в соприкосновении с вращающимися конусами (линия касания показана на рисунке зеленым цветом), по часовой стрелке или против нее.

Вот теперь между конусами устранены, кажется, все различия. А усовершенствованный механизм по-прежнему втиснут в невидимую сферу.