1. Кто кого породил

Приглашаем любителей геометрии и просто всех интересующихся посмотреть на этот казус.

Интересный человек – это разносторонний человек, богатый способностями, качествами, умениями. Напротив, скучный человек беден в этом отношении. То же относится и к геометрическим объектам: интересный объект богат свойствами.

Предлагаемая вашему вниманию фигура, поверхность, помимо своей «казусности», богата еще и другими многочисленными свойствами, чем заслуживает еще большего к себе интереса.

Итак, начинаем...

В мире геометрических фигур, помимо хорошо известного нам конуса (прямого кругового), существует еще и родственная ему, но малоизвестная поверхность – эвольвентная. Никаких сведений о ней вы нигде не найдете, разве что только в моем же блоге http://evolvellum.blogspot.com/, да в моей же статье 30-летней давности.

Так что же это за диковина? Начнем выяснять...

Механическое образование эвольвентной поверхности таково: поверхность описывается концом натянутой нерастяжимой ленты, сматываемой без скольжения с поверхности конуса (производящий конус). Конец ленты – образующая новой поверхности. Конец ленты, полностью намотанной на конус, совпадает с одной из его образующих (начальная линия).

Эвольвентная поверхность пересекает все касательные плоскости к поверхности производящего конуса под прямым углом, и наоборот, нормальная плоскость к эвольвентной поверхности служит касательной плоскостью к производящему конусу.

По построению эвольвентная поверхность не проникает внутрь производящего конуса, поэтому при прохождении образующей эвольвентной поверхности через начальную линию направление движения меняется, т.е. начальная линия есть линия возврата эвольвентной поверхности.

В этой статье мы будем называть ее просто эвольвентой. Как видим,  конус – очень близкий родственник эвольвенты. Он ее отец.

Пусть лента сматывается с поверхности конуса. Последим за смотанной частью ленты. Она имеет следующие свойства:

1. Это плоскость, поскольку по определению сматываемая лента все время натянута.
2. В любой момент она лежит в плоскости, касательной к конусу. Касание осуществляется по образующей конуса.
3. Это сектор круга радиусом, равным длине образующей конуса. Центральный угол сектора меняется.
4. Это развертка боковой поверхности конуса.

Продолжим выяснять родственные отношения. Оказывается, производящий конус не одинок. У него есть брат-близнец. Более того, они сиамские близнецы. Они срослись головами, т.е. вершинами. У них общая вершинная точка.

В отличие от подобного рода близнецов в мире животных, конусы-близнецы рождаются одновременно – путем вращения единой образующей вокруг единой оси. По форме эта парочка напоминает песочные часы.

Обращаю ваше внимание на одну интересную особенность композиции, состоящей из органически, родственно слившихся конических и эвольвентных поверхностей. По построению, все образующие этих поверхностей имеют совершенно одинаковую длину и лучами выходят из одной и той же точки – вершины конусов. И таким образом они являются радиусами еще одной поверхности – сферы. Конечные точки образующих являются точками сферы, а вершина конусов – ее центром.

Таким образом, наша композиция находится внутри сферы. А лента, сматываясь с конуса, своим уголком еле слышно «скребет» по ее внутренней поверхности.

Продолжим наше исследование в следующем разделе.