4. Производство эвольвент – на поток!

Для воплощения в жизнь данного лозунга нужно досконально изучить технологию производства. Начнем сначала. Итак, какое оборудование у нас есть? В качестве основного оборудования мы имеем специальную машину (см. рисунок ниже) – два вращающихся конуса и диск между ними, который тоже вращается, но может и не вращаться. Во втором случае вращается ось конусов вокруг оси диска. На выход и качество конечной продукции режим работы машины не влияет.

Что происходит во время работы машины? Конусы катаются по диску. Каждый из двух конусов катается по своей стороне диска. А радиальная линия-маркер (показана на рисунке черным цветом), нанесенная на поверхность диска, описывает эвольвенту. Мы можем наблюдать ее, сидя в зрительном зале, жестко связанном с системой вращающихся конусов. Пока конусы прокатываются от одного конца главного диаметра (показан на рисунке зеленым цветом) диска до другого, эвольвента успевает пройти полный цикл развития, т.е. ей достаточно времени, чтобы развернуться и затем, продолжая развертываться, опять свернуться.

Как известно, качество конечной продукции любого производства должно отвечать техническим требованиям, условиям, стандартам. Вот и мы сформулируем наши требования к качеству нашей продукции.

Дабы не вышла сия загогулина крива да кособока да неказиста, а вышла вельми красна да величава

Симметрия, эстетика, гармония – вот критерии качества, коими нам надлежит руководствоваться. Эвольвента будет обладать наивысшей возможной для данной геометрической фигуры симметрией, если ее начальная и конечная линии будут лежать в плоскости симметрии производящей машины. Иначе она попросту будет «кособока».

Эвольвента будет отвечать данному требованию, если в ходе полного цикла своего развития успеет обернуться вокруг себя целое число раз, либо совершить еще плюс-минус пол-оборота. То есть она должна совершить ½ или 1 или 1½ или 2 и т.д. оборотов.

Эвольвента обернется вокруг себя столько раз, сколько раз конус прокатится от одного конца главного диаметра диска до другого. А это уж задачка для любителей математики – определить, какой ширины должен быть конус, чтобы прокатиться по диску заданное число раз.

Будучи одним из таких любителей, я одолел-таки эту задачку, и теперь мои эвольвенты выходят весьма недурны собой. Если отлить эвольвенту в бронзе, то получится великолепная шарообразная фигура, похожая на глобус. Вот примерно такая, что показана на рисунке ниже. В этой фигуре содержится несколько эвольвент, «повернутых» относительно одна к другой вокруг оси конусов.

Или вот такая фигура. В ней тоже много эвольвент:

3. Поучительный опыт

Итак, начинаем экспериментировать с новым механизмом, следить за движением маркера и фиксировать результаты наблюдений.

Еще раз повторим, что линия-маркер будет скользить от одного конуса к другому по одной и той же траектории. Неважно, движется она вверх или вниз. Она всегда будет производить одну и ту же эвольвенту.

Запускаем механизм. Вот линия-маркер отделяется от нижнего конуса и начинает движение к верхнему конусу. Расположившись на поверхности нижнего конуса, мы будем наблюдать образование развертывающейся эвольвентной поверхности.

Остановим механизм и заставим его вращаться в обратном направлении. Тогда линия-маркер, двигаясь вспять по той же траектории, будет описывать ту же самую поверхность. Но теперь она будет представляться нам уже не развертывающейся, а свертывающейся поверхностью. Запомним это.

В другом эксперименте линия-маркер начинает движение от верхнего конуса к нижнему. Очевидно, в верхней полусфере мы будем наблюдать то же самое, что и в нижней. Т.е. при движении маркера от верхнего конуса поверхность будет развертывающейся, а при обратном движении – свертывающейся.

А теперь объединим эти два симметричных, фактически одинаковых случая, в каждом из которых мы достаточно ясно представляем себе процесс образования эвольвенты.

Вот линия-маркер, двигаясь снизу вверх, пересекает-таки плоскость экватора. Эвольвентная поверхность продолжает развертываться относительно нижнего конуса. Но относительно верхнего конуса, поскольку движение направлено к нему, эта поверхность, как мы уже знаем, является свертывающейся.

Таким образом, ниже экватора, при движении маркера от нижнего конуса, эвольвента развертывается; выше экватора, продолжая развертываться, свертывается. В этом, собственно, и состоит заявленный геометрический казус.

Отметим еще одно интересное явление. Ниже экватора эвольвентная поверхность относительно нижнего конуса вогнутая. А выше экватора она вогнута относительно верхнего конуса, следовательно, относительно нижнего конуса она выпуклая.
Таким образом, на экваторе знак ее кривизны меняется на противоположный – через нуль, конечно. На экваторе у нее нулевая кривизна! Тянущаяся вдоль этого рубежа полоска эвольвентной поверхности является плоскостью!

Вот к чему в который раз

Приводят выкрутасы нас

Проведем еще один опыт. Пусть линия-маркер, двигаясь от одного конуса к другому и описав полукруг, движется дальше, описывая новый полукруг. Очевидно, начнет развертываться новая эвольвентная поверхность, симметричная предыдущей. Плоскость симметрии проходит по оси конусов и по оси диска.

Эта же плоскость делит наш замечательный диск пополам. Она делит его по диаметру, который мы будем называть главным, чтобы отметить, выделить его из бесчисленного множества других диаметров этого диска. Главный диаметр отличается следующими особенностями:

• Это линия касания диска и конусов.
• Это начальная линия эвольвенты.
• Это конечная линия эвольвенты.
• Это линия возврата эвольвенты.
• Его можно представить как отрезок прямой, составленный из образующих конусов-близнецов.

Мы проследили весь ход развития эвольвенты – от начала развертывания до окончания свертывания. И теперь, обозревая все целиком, отчетливо видим, что это есть не что иное как цикл. Двустадийный цикл развития – развертывание-свертывание. Это еще одна особенность эвольвенты, в дополнение к обширному списку других свойств этой замечательной фигуры. Позволю себе напомнить, что интересный объект – это объект богатый свойствами.

До сих пор мы рассматривали отдельно взятый цикл развития эвольвенты. Но если заставить производящий механизм крутиться непрерывно, то циклы будут следовать один за другим так же непрерывно. Так мы плавно переходим к следующему разделу нашего обозрения.

2. Стремись к совершенству!

В быту мы обычно сматываем нитку с катушки двумя способами:

1. Вращая рукой с зажатой пальцами ниткой вокруг неподвижной катушки.
2. Стягивая нитку с вращающейся катушки прямолинейным движением руки.

Так получилось, что при аналогичном сматывании ленты с конуса изначально был принят первый способ. А если применить второй способ – заставить вращаться конус, а смотанная часть ленты пусть скользит вдоль плоскости, остающейся неподвижной? Посмотрим, что нам даст этот хитроумный ход.

Картина сильно упростится. Сматывается лента или наматывается – этот с трудом представляемый процесс будет отныне сведен к простому расширению или сужению образуемого ею кругового сектора.

Но если вращается один конус, то сросшийся с ним брат-близнец тоже не может не вращаться. Разумеется, они будут вращаться в одном и том же направлении. А смотанная часть ленты, как следует из вышесказанного, в любой момент будет лежать в плоскости, касательной к обоим конусам. Касание осуществляется по прямой линии, состоящей из образующих этих конусов.

Возникает вопрос: «А как же эвольвентная поверхность? Где она?». Ответ прост: зритель, находящийся на поверхности одного из вращающихся конусов и следящий за движением конца ленты, будет по привычке наблюдать образование эвольвентной поверхности. По привычке, потому что для этого зрителя лента сматывается старым способом.

А мы тем временем поспешим воспользоваться открывшимися возможностями, чтобы выявить некоторые тонкие особенности сложного процесса.

Итак, лента сматывается, образуемый ею круговой сектор расширяется. Конец ленты отдаляется от одного конуса и приближается к другому, до соприкосновения с его поверхностью, до совпадения с одной из его образующих. Именно достижение лентой другого конуса и будем пока считать окончанием процесса сматывания.

Поскольку до конца смотанная лента касается обоих конусов по прямой линии, то очевидно, что соответствующий круговой сектор представляет собой полукруг, а линия касания есть диаметр этого полукруга. Таким образом, в ходе сматывания ленты центральный угол ее кругового сектора растет от 0º до 180º.

Это инвариант: какими б ни были конусы – узкими или широкими – до конца смотанная лента будет иметь форму полукруга.

А вот еще один инвариант. Неважно, сматывается лента или наматывается. В обоих случаях конец ленты скользит в плоскости полукруга по одной и той же траектории, описывая одну и ту же эвольвентную поверхность.

Эти особенности стали простыми и очевидными только после того, как мы пустили ленту скользить по неподвижной плоскости.

А этот момент может показаться забавным. Ленту, сматываемую с одного конуса, «готов» наматывать на себя его брат-близнец, при том же направлении вращения.

Как известно, сфера – это тело вращения. Конусы (прямые круговые) – тоже тела вращения. Поэтому мы вправе говорить здесь еще и о параллелях-меридианах. Однако нам достаточно будет использовать только термин «экватор» в дальнейших изысканиях.

Совокупность тел вращения – сферы и конусов – добавляет нашей композиции новый аспект (свойство). Ось конусов – ось вращения и самих конусов и сферы тоже.

Совокупность конусов-близнецов – симметричная фигура. Плоскость симметрии (она же плоскость экватора), проходящая через вершинную точку (центр сферы), попутно делит все наше сферическое пространство на нижнюю и верхнюю полусферы.

Так вот. Мы более или менее ясно представляем себе процесс образования эвольвентной поверхности только в первой его половине – пока конец ленты движется в нижней полусфере. Вот конец ленты отделяется от производящего конуса. Вот начинает развертываться эвольвентная поверхность. Все это привычно и понятно, пока конец ленты движется в пространстве ниже экватора. Но сматываемая лента продолжает удлиняться. Как будет развертываться эвольвента, когда конец ленты пересечет экватор? Мы пока это плохо себе представляем.

Однако мы понимаем, что поскольку конусы симметричны, каждый из них может производить точно такую же эвольвенту, как и его брат-близнец.

Но все же между конусами сохраняется различие: на один конус лента намотана, на другой – нет; различие, которое мешает нам выяснить все до конца.

Чтобы как-то решить эту проблему, заметим, что вообще-то эвольвенту круга описывает не только конец нити, сматываемой с круга. Любая точка нити описывает эту кривую, точнее, свою копию кривой.

Аналогично обстоит дело и с лентой. Любая радиальная линия кругового сектора может производить эвольвентную поверхность.

Пусть теперь лента свободно ходит туда-сюда между двумя конусами. А эвольвенту пусть производит какая-нибудь радиальная линия-маркер на ленте.

Мы можем пойти и дальше. Заметим, что ключевым элементом в  производстве эвольвентной поверхности является именно линия-маркер. Мы можем даже забыть о самой ленте и следить только за движением маркера.

Пойдем еще дальше и упростим систему до предела: заменим мягкую ленту жестким диском. Теперь перед нами только два конуса и диск радиусом, равным длине образующей конуса (см. рисунок ниже). Диск вращается на оси, пересекающей ось конусов в вершинной точке. На него нанесена радиальная линия-маркер (показана на рисунке черным цветом). Диск может вращаться без скольжения в соприкосновении с вращающимися конусами (линия касания показана на рисунке зеленым цветом), по часовой стрелке или против нее.

Вот теперь между конусами устранены, кажется, все различия. А усовершенствованный механизм по-прежнему втиснут в невидимую сферу.

1. Кто кого породил

Приглашаем любителей геометрии и просто всех интересующихся посмотреть на этот казус.

Интересный человек – это разносторонний человек, богатый способностями, качествами, умениями. Напротив, скучный человек беден в этом отношении. То же относится и к геометрическим объектам: интересный объект богат свойствами.

Предлагаемая вашему вниманию фигура, поверхность, помимо своей «казусности», богата еще и другими многочисленными свойствами, чем заслуживает еще большего к себе интереса.

Итак, начинаем...

В мире геометрических фигур, помимо хорошо известного нам конуса (прямого кругового), существует еще и родственная ему, но малоизвестная поверхность – эвольвентная. Никаких сведений о ней вы нигде не найдете, разве что только в моем же блоге http://evolvellum.blogspot.com/, да в моей же статье 30-летней давности.

Так что же это за диковина? Начнем выяснять...

Механическое образование эвольвентной поверхности таково: поверхность описывается концом натянутой нерастяжимой ленты, сматываемой без скольжения с поверхности конуса (производящий конус). Конец ленты – образующая новой поверхности. Конец ленты, полностью намотанной на конус, совпадает с одной из его образующих (начальная линия).

Эвольвентная поверхность пересекает все касательные плоскости к поверхности производящего конуса под прямым углом, и наоборот, нормальная плоскость к эвольвентной поверхности служит касательной плоскостью к производящему конусу.

По построению эвольвентная поверхность не проникает внутрь производящего конуса, поэтому при прохождении образующей эвольвентной поверхности через начальную линию направление движения меняется, т.е. начальная линия есть линия возврата эвольвентной поверхности.

В этой статье мы будем называть ее просто эвольвентой. Как видим,  конус – очень близкий родственник эвольвенты. Он ее отец.

Пусть лента сматывается с поверхности конуса. Последим за смотанной частью ленты. Она имеет следующие свойства:

1. Это плоскость, поскольку по определению сматываемая лента все время натянута.
2. В любой момент она лежит в плоскости, касательной к конусу. Касание осуществляется по образующей конуса.
3. Это сектор круга радиусом, равным длине образующей конуса. Центральный угол сектора меняется.
4. Это развертка боковой поверхности конуса.

Продолжим выяснять родственные отношения. Оказывается, производящий конус не одинок. У него есть брат-близнец. Более того, они сиамские близнецы. Они срослись головами, т.е. вершинами. У них общая вершинная точка.

В отличие от подобного рода близнецов в мире животных, конусы-близнецы рождаются одновременно – путем вращения единой образующей вокруг единой оси. По форме эта парочка напоминает песочные часы.

Обращаю ваше внимание на одну интересную особенность композиции, состоящей из органически, родственно слившихся конических и эвольвентных поверхностей. По построению, все образующие этих поверхностей имеют совершенно одинаковую длину и лучами выходят из одной и той же точки – вершины конусов. И таким образом они являются радиусами еще одной поверхности – сферы. Конечные точки образующих являются точками сферы, а вершина конусов – ее центром.

Таким образом, наша композиция находится внутри сферы. А лента, сматываясь с конуса, своим уголком еле слышно «скребет» по ее внутренней поверхности.

Продолжим наше исследование в следующем разделе.